피타고라스의 정리 증명 (Pythagoras theorem proof)

피타고라스(Pythagoras)는 BC 500년 경을 살았었던 고대 그리스 시대의 수학자요, 철학자이며 천문학자이자 음악가였다. 당대에는 피타고라스 학파를 형성하여 후에 플라톤과 아리스토텔레스로 이어지는 그리스 철학에 영향을 미쳤을 정도로 매우 유명한 인물이었다고 한다.

이 사람의 이름이 우리에게 익숙한 것은 바로 중학교 때 배우는 피타고라스의 정리 때문이다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.
In a right triangle, the square of the length of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the lengths of the legs.

이 피타고라스의 간단한 정리는 그 간단함으로 인해 흥미를 잃고 수학책을 던졌던 수많은 중학생들에게 그나마 기하학(Geometry) 챕터만은 포기하지 않고 한 줄기 빛을 볼 수 있도록 해주기도 한다.

피타고라스의 정리를 이용하면 직각 삼각형의 빗변의 길이 혹은 밑변의 길이들을 구해 낸다. 그리고 게임에서는 두 지점 사이의 거리를 구하는 원리가 바로 이 피타고라스의 정리를 기반으로 한다. n-차원으로 확장되어도 마찬가지로 써먹을 수 있다. 


이렇게 자주 쓰이는 피타고라스의 정리를 증명하는 법은유클리드의 방식, Bhaskara 방법 등 100가지도 넘는다. Ref
그 중 사람들 사이에서 가장 간단하고 인기있는 방법은 아래의 방법일 것이다. (모두 정사각형 가정) Ref

개인적으로 좋아하는 이 정리의 증명 방식은 유클리드의 Elements of Euclid 책에서 나오는 아래 방식이다.

먼저  직각삼각형의 각 변의 길이를 가지는 정사각형 세개를 확장한다.

아래의 그림에서 A 정사각형의 면적과 B 정사각형의 면적이 아래 정사각형의 면적과 같다는 것, 즉 A+B가 되는 것을 증명하면 된다.

먼저 아래와 같이 빨간 삼각형과 파란 삼각형을 그어서 생각해 보자.

파란 그리고 빨간 삼각형이 두 변의 길이가 같고 끼인 각이 같으므로 동일한 삼각형임을 알 수 있다.

그리고 빨간 삼각형은 하늘색 삼각형과 넓이가 같다. (동일 밑변, 동일 높이). 그러므로 빨간 삼각형의 넓이는 b의 제곱의 절반이다. (1/2*b^2)

또한, 파란 삼각형과 초록 삼각형은 밑변이 같고 높이가 같기 때문에 넓이가 같게 된다.

따라서 아래 정사각형에 왼쪽의 사각형의 넓이는 초록 삼각형의 넓이의 두배, 즉  b의 제곱과 같게 된다. (b^2)

마찬가지로 우측 정사각형도 아래와 같이 파랑, 빨강 삼각형을 그어보면, 동일한 삼각형임을 알 수 있다.

그래서 우측 상단의 사각형은 아래 사각형의 우측에 위치한 사각형과 동일한 넓이를 가지게 된다.

결과적으로

즉, 피타고라스의 정리  a^2 + b^2 = c^2이 성립하게 되는 것이다.

피타고라스의 정리는 기하를 다루는 모든 실용 학문에서 기본적으로 쓰이는 원리라서 그 증명에 관해 한번쯤 생각해 두는 것도 좋을 것이다.

P.S. 손그림으로 안그리고 이걸 어떻게 잘 설명할 수 있을지 떠오르지 않는다. ㄷㄷㄷ