2018년 4월 8일

오일러 상수 혹은 자연 상수 e 에 관해 (on Euler’s constant or nature number)

오일러 상수(Euler’s constant)로 알려진 e는 사실 오일러가 발견한 것이 아니라,
스위스의 수학자인 Jacob Bernoulli 가 발견했고, Euler가 e라는 이름을 붙여 사용함으로써 유명해졌다.
오일러 상수 e는 무리수(irrational number, 분수로 표현될 수 없는 수) 로써 아래와 같이 구할 수 있다.

$e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

그리고 그 결과 값은

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995 …

이다.

수학에서 가장 중요한 상수라면 아마도 π와 e일 것인데, π는 우리에게 조금 익숙한 반면 e는 쉽사리 익숙해 지지 않는다.
수학에서 가장 아름다운 공식이라고 하는 오일러 공식(Euler’s Identity) 에서도 등장하는데 말이다.

$e^{i\pi }+1=0$

그러나, e는 그 의미를 알아보면 생각해보다 흥미롭다.

1) 복리

먼저 복리의 경우를 생각해보자.
놀부가 은행에 예금을 넣었다고 하자. 1년 후에 원금의 6%의 이자를 계산해서 받기로 했다.
100원을 예금하였다고 하면 1년 후에 내가 기대할 수 있는 금액은

100 + 100 * 0.06

즉, 106만원이다.
그런데, 이자를 6개월마다 나눠서 계산을 해준다는 은행의 이벤트가 시작되었단다.
즉, 6%를 두번 나누어 주니까 각각 3%식 6개월마다 주는 이벤트란다.

첫번째 6개월 : (100 + 100 * 0.03)
두번째 6개월 : (100 + 100 * 0.03) + (100 + 100 * 0.03) * 0.03

해당 이벤트로 놀부가 받을 수 있는 총 예금 액수는 106.09 만원으로 늘어났다.
이를 6개월, 3개월, 1개월로 그 횟수를 늘려가면 반복 계산하면, 복리의 최종 금액을 구하는 식을 다음 식으로 표현할 수 있다.

100 ( 1 + 0.06 / n) ^ n

이 식을 기반으로, 일년에 두번 이자를 계산하니 수익이 조금 느는 것을 본 놀부에게 욕심이 생겨,
이자를 3개월마다 계산해 달라고 했고, 2개월, 1개월 급기야 1초에 한번씩 계산해 달라고 진상을 부렸다.
그렇게 할 경우 놀부가 받을 수 있는 금액은 얼마일까?

100 ( 1 + 0.06 / 31622400) ^ 31622400

계산해보면, 놀부가 복리를 1초에 1번 계산해서 1년 후에 받을 수 있는 금액은

106.1836546485 원이다.

더 나아가, 1년에 1조번 쪼개서 계산해달라고 요청하면 놀부가 받을 수 있는 금액은

106.1836546545 원이다.

즉, 기하급수적으로 혹은 우상향으로 높아지는 것이 아니라 어떤 값에 수렴하는 것을 볼 수 있다.

이 수렴하는 숫자가 바로 6%의 이자값을 자연 상수 e의 지수로 넣은 값이다.

e ^ 0.06 = 1.0618365465

이 값은 놀부가 최대로 많이 받을 수있는 100원의 1.0618365465 배에 수렴하게 된다.
따라서 1년에 12번 정도만 계산해도 놀부가 추가로 받을 수 있는 금액의 증가량은 거의 무시할 정도로 작아지므로,
초당 이자를 계산하달라고 떼를 쓰는 은행 입장에서 돈이 적당히 많은 우수 고객인 놀부를 위해서 특별히 그렇게 해주는 편이 훨씬 똑똑한 결정일 수도 있다.

1년 후가 아니라 n 년 후의 6% 복리 윈리 금액을 계산할 때에도

원금 * e ^ (0.06 * n)

으로써, e의 지수 함수로 구할 수 있다. 이렇게 복리 값을 예측하는데 유용하게 쓰인다.

2) 주사위

4면 주사위를 4번 굴려서 1이 최소한 1번이상 나올 확률 (1 – 0.3164)
6면 주사위를 6번 굴려서 1이 최소한 1번이상 나올 확률 (1 – 0.3349)
12면 주사위를 12번 굴려서 1이 최소한 1번이상 나올 확률 (1 – 0.3520)
100면 주사위를 100번 굴려서 1이 최소한 1번이상 나올 확률 (1 – 0.3660)

이렇게 계속 면을 늘리고, 굴리는 횟수를 늘리면 확률이 증가할 것 같지만, 사실은 1/e 값, (1 – 0.3678…) 에 근접한다.

3) 나무가 자라는 속도

그 뿐아니다.
어떤 나무가 성장할 때 나무의 높이와 나무의 나이에 대해서 예측한다고 하자.
우리는 단순히 기울기가 +인 1차 곡선의 값으로 나무의 키가 자라는 것으로 추측하기 쉽다. 그러나, 자연의 일부인 나무는 결코 그렇게 우상향 일차 방정식의 형태로 키가 자라지 않는다. 사실 나무의 키는 오일러 상수의 지수 형태로 자란다고 한다. 즉, e의 계산 식의 증가량 처럼

1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! …

초반에는 빠르게 나무의 키가 증가하다가 그 증가량이 점점 특정 값에 수렴하며 느려지는 것이다.

즉, 식물과 자연이 성장하는 속도를 이해하기 위해서는 이 e에 대한 기본적인 이해가 필요하다는 것이다.

4) 추가로
어떤 소문이 퍼지는 상황에 대해서 예측한다고 할 때에도, e의 지수 함수 형태의 경향을 보인다고 한다. 즉, 특정 시간 후에 몇 사람이 소문을 들을 것인가? 이 이슈도 시간이 많으면 많을 수록 소문을 듣는 사람이 기하 급수적으로 증가할 듯 하지만, 실제로는 e의 지수 함수에 근접하여 수렴한다고 한다.

핵의 연쇄 반응, 경제 성장의 속도, 통제되지 않은 인구의 증가 속도도 모두 e의 지수함수 형태로 표현되는 경향이 있다고 한다. 초반에는 빠르게 성장하다가 특정 값에 수렴하면서 점점 느려지는 것이다.

따라서, 숫자 e는 이 지구상에 벌어지는 실제의 자연 현상들을 식과 수로 설명할 때 사용될 수 있다. 조금만 과장하자면, 세상과 자연을 이해하기 위해 꼭 필요한 숫자라고 할 수 있을 것이다.

역으로, 게임이나 어떤 시뮬레이션에서

“어떻게 하면 자연스럽게 만들 수 있을까?”

란 질문이 들 때에, 그에 대한 해답은 숫자 e를 이해하고 이를 기반으로 내구도나, 성장속도나, 증가 속도등을 적용시키면 우리가 실제 생활에서 겪는 것과 비슷한 꽤 자연스러운 상황이 나오게 할 수 있다는 것이다.

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